Konstruujemy trójkąt z trzech odcinków

Postawmy pytanie, jak z trzech odcinków zbudować trójkąt i czy zawsze można to zrobić.
Najlepiej byłoby rozwiązywać problem poglądowo, budując trójkąt z patyczków. Trzeba by
mieć patyczki różnej długości, wśród nich trzy, z których można utworzyć trójkąt, oraz trzy,
które nie mogą być bokami trójkąta.
W trakcie prób uczeń może zauważyć, że jeżeli dwa patyczki są zbyt krótkie w stosunku do
trzeciego, to z tej trójki nie da się zbudować trójkąta.
Zauważy to z całą pewnością, jeżeli ustalimy położenie jednego patyczka, dołączymy do jego
końców pozostałe dwa patyczki i będziemy je obracać, szukając położenia, w którym się zetkną:
Uczeń zobaczy, po jakich drogach poruszają się końce ruchomych odcinków, i będzie umiał
narysować trójkąt o danych trzech bokach, posługując się cyrklem i linijką. Rysowanie z użyciem
tych dwóch przyrządów nazywamy konstruowaniem.
Porozmawiajmy o wykonalności konstrukcji, pytając, czy rysowane okręgi zawsze (tzn. przy
każdych długościach odcinków) się przecinają. W ten sposób doprowadzimy do sformułowania
warunku trójkąta: suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku.
Podczas konstrukcji uczeń zauważa, że wszystkie trójkąty konstruowane z trzech danych odcinków
są jednakowe. W tym sensie trzy boki trójkąta wyznaczają trójkąt jednoznacznie.
ZOBACZ CAŁOŚĆ: Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dla rodziców>>>
 

Uczymy dzieci obliczać obniżki i podwyżki

Obniżki i podwyżki

Na dalszym etapie edukacji, w gimnazjum, uczeń oblicza nie tylko „okrągłe” procenty. Obliczenia

stają się bardziej skomplikowane i warto sięgać po kalkulator. Punkt wyjścia jest ten

sam: x% liczby to

100

x tej liczby. Skorzystamy z tego, że znalezienie ułamka liczby oznacza

pomnożenie liczby przez ten ułamek. Ułamki wyrażające procenty z reguły zapisujemy w postaci

dziesiętnej, szczególnie gdy posługujemy się kalkulatorem.

Trzeba poćwiczyć zamianę procentów na ułamki dziesiętne. Uczeń nie powinien mieć wątpliwości,

że 76% to 0,76, 10% to 0,1, 80% to 0,8, 123% to 1,23, 120% to 1,2 itp.

Na początek rozważmy zadanie:

􀂍 Lodówka kosztuje 750 zł. Ile będzie kosztowała po obniżce o 14%?

Na lekcjach matematyki bardzo często postępuje się według schematu: oblicza się 14% z 750,

odejmując otrzymaną liczbę od 750.

W ten sposób wykonuje się dwa działania, najpierw mnożenie, a potem odejmowanie. Tymczasem

można prościej. Wystarczy zauważyć, że skoro lodówka stanieje o 14%, to zostanie

86% jej ceny. Zadanie sprowadza się do jednego działania, mianowicie 0,86 􀂘 750.

Rozważmy teraz sytuację, kiedy lodówka drożeje:

􀂍 Lodówka kosztuje 750 zł. Ile będzie kosztowała po podwyżce o 16%?

I tutaj również nie musimy wykonywać dwóch działań, obliczając 0,16 􀂘 750 i dodając znalezioną

liczbę do 750, jeżeli zauważymy, że nowa cena lodówki to 116% kwoty 750. Ponieważ

100

116 to 1,16, więc mnożymy 1,16 􀂘 750.

Rozwiązując zadania, w których znamy kwotę po określonej obniżce czy podwyżce, a trzeba

obliczyć cenę wyjściową, zaczynamy od przyporządkowania danej kwocie odpowiedniego

procentu ceny wyjściowej i na tej podstawie obliczamy 100%.

Takie rozumowanie, i to dwukrotnie, zastosujemy w kolejnym zadaniu:

􀂍 Odkurzacz najpierw podrożał o 20%, a potem staniał o 15% i kosztuje 459 zł.

Ile kosztował przed zmianami cen?

Mamy tu trzy ceny odkurzacza: początkową, środkową i końcową. Najlepiej zacząć od tej ostatniej.

Skoro odkurzacz staniał o 15%, to ostatnia cena stanowi 85% ceny środkowej. Te 85% to

459, więc 1% to 459 : 85, a 100%, czyli cena środkowa, to 100 razy więcej. Otrzymamy 540 zł.

Ta kwota z kolei stanowi 120% początkowej, więc cena początkowa jest równa (540 : 120) 􀂘 100.

ZOBACZ CAŁOŚĆ: Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dlarodziców DanutaZaremba>>>

Uczymy obliczać procenty

Uczymy obliczać procenty
ZOBACZ PORADNIK: Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dla rodziców DanutaZaremba>>>

Zdrowy rozsądek zamiast x
Na lekcjach matematyki (także chemii) częstym narzędziem do obliczeń procentowych ciągle
jeszcze są proporcje z niewiadomą. Stosowane są wtedy, kiedy trzeba obliczyć pewien procent
liczby na podstawie innego jej procentu. Oto przykład:
􀂍 27% pewnej liczby wynosi 351. Ile wynosi 14% tej liczby?
Z reguły zaczyna się tu od proporcji
x
351
14
27 􀀠 (lub innej, równoważnej), gdzie x oznacza
szukaną liczbę.
Tymczasem zadanie to można rozwiązać dokładnie tak, jak w młodszych klasach rozwiązuje
się inne zadanie.
􀂍 Za bilety do kina dla 27 osób zapłacono 351 zł. Ile trzeba by zapłacić za bilety
dla 14 osób?
Obliczamy najpierw cenę jednego biletu, a potem mnożymy ją przez 14.
Z procentami tak samo. Obliczamy 1% liczby, dzieląc 351 przez 27, a wynik mnożymy przez 14.
Ktoś może powiedzieć, że działania są takie same jak podczas obliczania x z proporcji. To prawda,
ale doszliśmy do tych działań w sposób zdroworozsądkowy. Proporcje zwalniają ucznia od
myślenia i obciążają niepotrzebnie jego pamięć. Czasem pamięć zawodzi i uczeń myli się, np. zamieniając licznik z mianownikiem. Postępuje schematycznie i nie zauważa błędu. Nie bez
znaczenia jest też fakt, że proporcje wymagają kartki i ołówka; są niewygodne, jeżeli posługujemy
się kalkulatorem.
Podobnie zdroworozsądkowo rozwiązujemy zadanie:
􀂍 19% pewnej liczby wynosi 76. Jaka to liczba?
Wystarczy zauważyć, że każda liczba stanowi 100% siebie samej, i rozwiązywać zadanie tak
jak poprzednie, zastępując 14 przez 100.
W szkole często preferuje się rozwiązywanie zadań za pomocą równań, co z reguły komplikuje
postępowanie. Zobaczmy to na przykładzie.
􀂍 Kowalski obliczył, że w przyszłym miesiącu po zapłaceniu podatku stanowiącego 36%
miesięcznego wynagrodzenia zostanie mu z pensji 2912 zł. Ile zarabia Kowalski?
Nawyki wyniesione ze szkoły prowadzą do schematu:
wynagrodzenie miesięczne Kowalskiego to x,
zapłacony podatek to x
100
36 ,
po zapłaceniu podatku zostało x x
100
􀀐 36 ,
skąd wynika równanie 2912
100
x 􀀐 36 x 􀀠 .
Wszystko to prawda, tylko po co? Skoro Kowalski zapłacił jako podatek 36% swojego wynagrodzenia,
to zostało mu 64% wynagrodzenia. Te 64% to 2912 zł, skąd obliczymy 1%, a potem
100% wynagrodzenia. ZOBACZ PORADNIK: Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dla rodziców DanutaZaremba>>>

Jak tłumaczyć dzieciom matematykę

Co nieostre, to tępe, czyli logika dziecięca

Z życia klasy

ZOBACZ: Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dlarodziców DanutaZaremba>>>

Zacznę od przytoczenia historyjki, którą często opowiadam. Brzmi jak anegdota, ale wydarzyła

się naprawdę. Było to na lekcji języka polskiego w czwartej klasie jednej z wrocławskich

szkół podstawowych podczas wystawiania ocen na półrocze. Nauczycielka była raczej łagodna,

stąd oceny były niezłe. Patrząc na stopnie wpisane do dziennika, nauczycielka zaczęła się głośno

zastanawiać, dlaczego uczniowie mają u niej oceny znacznie lepsze niż u innych nauczycieli.

Jeden z uczniów, Piotrek, od razu znalazł wyjaśnienie: To dlatego, że Pani nie jest ostra tak

jak inni — Pani jest tępa!

Klasa zamarła, a Piotrek zdał sobie sprawę z popełnionej gafy. Na szczęście nauczycielka właściwie

odebrała słowa ucznia i — zamiast się obrazić — szczerze się ubawiła, o czym wiem od

niej samej. Była to nauczycielka z prawdziwego zdarzenia, rozumiejąca swoich uczniów. Zdawała

sobie sprawę z tego, że Piotrek, należący do tych uczniów, którzy szybciej mówią niż

myślą, instynktownie kierował się logiką: skoro nie ostre, to tępe.

Tymczasem nauczyciele często traktują podobne wypowiedzi dosłownie, czują się dotknięci

i konflikt gotowy. A wystarczyłoby trochę refleksji, by właściwie odczytać intencje ucznia.

Dziecko myśli logicznie, jest konsekwentne w swoim rozumowaniu. Czasami dochodzi do wniosków,

które nas zaskakują i wydają się fałszywe. Skąd się biorą? Otóż dziecko często przyjmuje

swoje własne założenia, o których nie zawsze wiemy. Podam parę przykładów ze swojego

doświadczenia nauczycielskiego.

O punktach większych i mniejszych,

grubej prostej i czterech połówkach koła

Pamiętam, jak kiedyś rozmawiałam o matematyce z pewnym piątoklasistą. Podczas dyskusji

o zadaniu z geometrii pojawiło się pojęcie punktu. Chciałam sprawdzić, jak je uczeń rozumie,

więc narysowałam odcinek i zapytałam podchwytliwie, ile jest w nim punktów. Chłopiec popatrzył

uważnie na odcinek, zmarszczył czoło, coś mierzył i szacował, a potem odpowiedział

z przekonaniem, że „jakieś tysiąc”. Zastanawiałam się, jak zareagować, a wtedy usłyszałam, że

punktów mogłoby być jeszcze więcej, gdyby były bardzo małe…

Może Państwo pamiętacie z własnej edukacji, że punkt to jest „coś, co nie ma wymiaru”. Pojęcie

punktu jest czysto abstrakcyjne, punkty (te rozważane w geometrii) nie istnieją w naszej rzeczywistości,

nie można ich narysować, a zaznaczenie punktu na papierze czy tablicy jest tylko

umowną ilustracją tego pojęcia. Punkty, które rysujemy, są grubsze lub cieńsze — w zależności

od sytuacji, którą chcemy zilustrować, a także od ołówka czy kredy, których używamy. Tymczasem

dziecko odczytuje rysunek tak, jak go widzi, identyfikując punkt z narysowaną kropką.

Jest oczywiste, że kropka ta ma pewne wymiary, może być większa lub mniejsza. Nie może być

tylko zbyt duża, jeżeli ma być punktem — tak uważają dzieci.

Dzieci, nawet starsze, traktują rzeczy i zjawiska dosłownie. Przypomina mi się moja lekcja

geometrii przestrzennej w ósmej klasie szkoły podstawowej (sprzed reformy). Rozważaliśmy

sytuację, w której dana jest płaszczyzna oraz prosta do niej równoległa:

Zapytałam, ile jest płaszczyzn przechodzących przez daną prostą i równoległych do danej płaszczyzny.

Chciałam sytuację zilustrować, więc wzięłam długopis (miał reprezentować prostą)

i ustawiłam go równolegle do blatu stołu (płaszczyzna). Kasia nie miała wątpliwości: dwie!

Odpowiedź zaskoczyła mnie, ale zrozumiałam, skąd się wzięła: jedna płaszczyzna pod długopisem,

druga nad…

Nic dziwnego, model prostej był zbyt „gruby”, aby mógł skutecznie reprezentować prostą. Chciałam

dobrze, a wyszło nieoczekiwanie. Trzeba przyznać, że inni uczniowie nie byli tak dosłowni

i rozumieli umowność sytuacji. W każdym razie trzeba było podyskutować na temat pojęć

geometrycznych.

Pamiętam też pewnego czwartoklasistę, który „dzielił koło na cztery połowy”. Narysował jedną

średnicę, która podzieliła koło na dwie połowy, po czym dorysował średnicę prostopadłą,

otrzymując tym razem również podział na dwie połowy (oczywiście inne). Podsumowując,

stwierdził, że narysowane średnice dzielą koło na cztery połowy. Czyż mówił nieprawdę?

Dowolny — czyli jaki?

Nieporozumienia zdarzają się nie tylko w geometrii. W algebrze przekształcamy wyrażenia

z literami. Przykładowo zamiast a – (b + c) możemy napisać a – b – c. Dlaczego? Bo dla dowolnych

liczb podstawionych w miejsce a, b, c zachodzi równość a – (b + c) = a – b – c. Pytałam

kiedyś uczniów, jak ją uzasadnić. Usłyszałam: podstawić za a, b, c jakieś konkretne liczby

i sprawdzić.

Oczywiście w ten sposób pokażemy tylko, że równość jest prawdziwa dla tych liczb, które

podstawimy; nie dowiedziemy, że jest prawdziwa w całej swojej ogólności. Sprawdzając równość

dla pewnych liczb, nie możemy wywnioskować, że jest prawdziwa dla pozostałych.

Uczniowie jednak rozumieją przymiotnik „dowolny” po swojemu, zgodnie ze swoim doświadczeniem

życiowym. Na co dzień „dowolny” znaczy: taki, jaki chcę, zależny od mojej woli. Jeśli

zatem liczby mają być dowolne, mogę je wybrać.

Trzeba czasu, aby uczeń zrozumiał, że „dowolny” w matematyce oznacza to samo, co „każdy”.

Określenie: „dla dowolnych” znaczy: „dla wszystkich”, a nie tylko dla wybranych.

Im lepiej zrozumiemy ucznia, tym lepiej potrafimy się z nim porozumieć i tym skuteczniej pomóc

mu w przezwyciężaniu trudności, jakie niesie matematyka. Rozumienie ucznia, a przynajmniej

nieustanne podejmowanie starań w tym kierunku, jest niezbędnym warunkiem dobrego

nauczania. Nie wystarczy, że przygotowując się do lekcji, nauczyciel opracuje dany temat w sposób,

który jemu wydaje się właściwy. Narzucanie uczniom z góry ustalonego sposobu podejścia

do problemu często odnosi skutek inny od zamierzonego. Uczniowie szybko tracą wątek,

przestają rozumieć istotę zagadnienia i skupiają się wyłącznie na zapamiętaniu wytycznych

nauczyciela. Naśladują pokazany sposób rozwiązywania zadań, przez jakiś czas radzą sobie

z typowymi zadaniami, ale po pewnym czasie wszystko zapominają. Na dodatek, przyzwyczajeni

do bezmyślnego stosowania reguł i wzorów, zatracają zdolność posługiwania się zdrowym

rozsądkiem i nie próbują samodzielnie rozwiązywać nawet prostych problemów. Stąd

rodzą się kłopoty z matematyką. Nieporozumienia na linii nauczyciel – uczeń powodują, że

trzeba nie tylko uzupełniać, ale często także prostować edukację szkolną naszych dzieci.

dopuszczają różne sposoby. Przykładowo obliczając 40% i 60%, można startować zarówno

z 10%, jak i 20%.

Warto także poćwiczyć obliczanie procentu liczby, jeżeli nie jest ona dana, ale znamy inny jej

procent. Pytajmy więc, jak obliczyć 45% liczby, znając jej 30% — lub odwrotnie. W szczególności

polećmy znajdowanie liczby (czyli 100%), której pewien procent jest znany.

Oto przykłady kilku ćwiczeń:

􀂍 15% pewnej liczby wynosi 135. Oblicz 30%, 60%, 5%, 50%, 200% tej liczby.

􀂍 250% liczby jest równe 124. Jaka to liczba?

􀂍 30% pewnej liczby jest równe 21. Jaka to liczba?

􀂍 Znajdź liczbę, której: a) 20% wynosi 13, b) 5% wynosi 1.

ZOBACZ CAŁOŚĆ: Jak tłumaczyć dzieciom matematykę. Poradnik nie tylko dlarodziców DanutaZaremba>>>

Testy. Matematyka. Gimnazjum. Nowa forma

Testy. Matematyka. Gimnazjum. Nowa forma

Testy gimnazjalne zgodne z najnowszą podstawą programową, opracowane przez doświadczonych nauczycieli, adresowane do uczniów i nauczycieli. Sprawdzają wiedzę i umiejętności uczniów wskazane w podstawie programowej. Zawierają zadania zamknięte i otwarte, różne typy zadań otwartych zgodnie z Informatorem CKE oraz propozycje rozwiązań. Mogą być wykorzystane do przeprowadzenia egzaminów próbnych, do ćwiczeń na lekcji lub samodzielnej pracy ucznia w domu.
ZOBACZ TESTY>>>

Egzamin gimnazjalny. Matematyka

Książka składa się z czterech części:
. I. Zawierającej powtórzenie całości materiału z matematyki z zakresu podstawy programowej gimnazjum napisane bardzo przystępnym, zrozumiałym nawet dla przeciętnie uzdolnionych uczniów, językiem:
. Liczby rzeczywiste.
. Wyrażenia algebraiczne.
. Funkcje.
. Równania i nierówności, układy równań.
. Geometria na płaszczyźnie.
. Geometria w przestrzeni.

. II. Zawierającej zestawy zadań testowych o charakterze zamkniętym i otwartym, zgodne ze standardami egzaminacyjnymi, sprawdzające wiadomości oraz umiejętności z poszczególnych działów:
. TEST I Liczby rzeczywiste.
. TEST II Wyrażenia algebraiczne.
. TEST III Funkcje.
. TEST IV Równania i nierówności, układy równań.
. TEST V Geometria na płaszczyźnie.
. TEST VI Geometria w przestrzeni.

. III. Zawierającej szczegółowe omówienie poprawnego rozwiązania kolejnych zadań ( krok po kroku ). Co umożliwia uczniom skontrolowanie poprawności udzielonych odpowiedzi i prześledzenie właściwego toku rozumowania.
. IV. Karty odpowiedzi w postaci załącznika do książki.

Publikacja niniejsza została pomyślana jako książka przeznaczona do wykorzystania na lekcjach matematyki ( Część I oraz II ) i pozwalająca uczniowi na samodzielne przygotowanie się do powtórek w formie zadania domowego ( Część I ). Można dzięki temu oszczędzić czas lekcji i wykorzystać go na kształcenie umiejętności wykonywania zadań przy wykorzystaniu przypomnianych w domu wiadomości. Jest to szczególnie ważne w trzeciej klasie gimnazjum, kiedy uczniowie najczęściej nie mają dostępu podręczników z poprzednich klas zawierających potrzebne informacje.
Niniejsza publikacja zalecana jest także do samodzielnej pracy uczniów.
ZOBACZ CAŁOŚĆ: Egzamin gimnazjalny. Matematyka>>>

Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie)

Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie)
Lepiej zajrzyj tu: Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty>>>

Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, o liczniku
będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku będącym liczbą całkowitą różną
od 0, nazywamy liczbą wymierną.
Liczbami wymiernymi są np. liczby: – 2
3, – 5
8, –1,3, 0, 1
4, 17
49 , 61
3, 9, 18,15.
Liczby te mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
Każdą z nich można przedstawić w postaci ułamka zwykłego na nieskończenie
wiele sposobów.
PRZYKŁAD 1
Zapisz liczby wymierne:
a) 5; b) 0; c) –6; d) 0,8; e) –21
3; f) –8,4.
w postaci ułamków.
Rozwiązanie
a) 5 = 5
1 = 10
2 = 15
3 = …; b) 0 = 0
2 = 0
–6 = 0
21 = …;
c) –6 = –6
1 = 12
–2 = –84
14 = …; d) 0,8 = 8
10 = 4
5 = 28
35 = …;
e) –21
3 = – 7
3 = –35
15 = 70
–30 = …; f) –8,4 = –84
10 = 42
–5 = –126
15 = …
Porównując liczby, często wykorzystujemy położenie na osi liczbowej punktów
o odpowiadających im współrzędnych.
PRZYKŁAD 2
Uporządkuj rosnąco liczby: –21
2, 1,5, 0, 21
4, – 1
2.
Rozwiązanie
Rysujemy oś liczbową, obieramy jednostkę i zaznaczamy punkty
o danych współrzędnych.
–21
2 – 1
2 0 1 1,5 21
4
Odpowiedź: –21
2 < – 1
2 < 0 < 1,5 < 21
4.
Odległość pomiędzy dwoma punktami leżącymi na osi liczbowej możemy obliczać,
odejmując ich współrzędne.
PRZYKŁAD 3
Oblicz odległość między punktami o współrzędnych:
a) –3 i 4; b) –7 i –2; c) 3 i 8.
Rozwiązanie
a) |AB| = 4 – (–3) = 7; 3
7
4
A B
–3 0 1 4
b) |CD| = –2 – (–7) = 5;
5
7
2
C D
–7 –2 0 1
c) |EF| = 8 – 3 = 5.
3
8
5
E F
0 1 3 8
Na osi liczbowej możemy zaznaczać liczby oraz zbiory liczb. Jeżeli chcemy
wśród liczb podać te, które są np. większe od 4, to nie możemy wymienić ich
wszystkich, bo jest ich nieskończenie wiele. Zbiór ten zaznaczamy na osi liczbowej.
PRZYKŁAD 4
Zaznacz na osi liczbowej zbiory liczb spełniających określone warunki.
a) x > –2; b) x < 4; c) x ≥ 3; d) x ≤ –1.
Rozwiązanie
a) x > –2;
0 1 2
b) x < 4;
0 1 4
c) x ≥ 3;
0 1 3
d) x ≤ –1.
–1 0 1
Wykonując działania na dowolnych liczbach wymiernych, musimy zawsze
zwracać uwagę na znak każdej z liczb i pamiętać o własnościach działań.
PRZYKŁAD 5
Wykonaj dodawanie liczb wymiernych.
a) o takich samych znakach: b) o różnych znakach:
3 + 5; (–3) + (–5); (–3) + 5; 3 + (–5);
Rozwiązanie
a) 3 + 5 = 8; (–3) + (–5) = – 8; b) (–3) + 5 = 2; 3 + (–5) = –2.
Suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, zaś suma dwóch liczb ujemnych
jest liczbą ujemną.
Wykonaj mnożenie liczb wymiernych.
a) o takich samych znakach: 4 · 5; (–4) · (–5);
b) o różnych znakach: (–4) · 5; 4 · (–5).
Rozwiązanie
a) 4 · 5 = 20; (–4) · (–5) = 20; b) (–4) · 5 = –20; 4 · (–5) = –20.
Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zaś iloczyn dwóch
liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią.
Oblicz iloraz dwóch liczb wymiernych.
a) o takich samych znakach: 48 : 6; (–48) : (–6);
b) o różnych znakach: 48 : (–6); (–48) : 6.
Rozwiązanie
a) 48 : 6 = 8; (–48) : (–6) = 8; b) 48 : (–6) = –8; (–48) : 6 = –8.
Iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zaś iloraz dwóch liczb
o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią.
Przy obliczeniach na liczbach dodatnich i ujemnych musimy pamiętać o obowiązującej
kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach,
następnie mnożymy i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy. Należy
również pamiętać o opuszczaniu niepotrzebnych nawiasów.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia arytmetycznego.
a) –(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7;
b) [(–2) · (–8) – (–30) : 5] : (–11) + (–3) · 2 – (–7 ) – [– (–8)];
c) 0 – 0,1 · 100 + 10 : (–10) – (–10) : 0,1 + 0,01 · (–1000);
d) (– 1
2) · 6 + 1
3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2
5) ] : (– 2
3) + 4 – 9 : (–3).
Rozwiązanie
a) –(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7 =
= 5 – 23 + 9 + 4 – 13 + 7 = 25 – 36 = –21;
b) [(–2) · (–8) – (–30) : 5] : (–11) + (–3) · 2 – (–7 ) –[–(–8)] =
= (16 + 6) : (–11) – 6 + 7 – 8 = 22 : (–11) – 6 + 7 – 8 =
= –2 – 6 + 7 – 8 = 7 – 16 = –9;
c) 0 – 0,1 · 100 + 10 : (–10) – (–10) : 0,1 + 0,01 · (–1000) =
= –10 – 1 + 100 – 10 = 100 – 21 = 79;
d) ( – 1
2) · 6 + 1
3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2
5) ] : (– 2
3) + 4 – 9 : (–3) =
= –3 – 4 – (–1 + 2) · (– 3
2) + 4 + 3 = –3 – 4 + 1,5 + 4 + 3 = 1,5.
Przy rozwiązywaniu prostych zadań z zastosowaniem liczb wymiernych
pamiętajmy o prawach działań i kolejności wykonywania działań.
Znajdź liczbę, której 2
3 jest równe wartości liczbowej wyrażenia
(–3) · 1,3 + 1,8 : (–0,6)
(–0,2 + 0,1 · 5) – (–2) .
Rozwiązanie: Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:
(–3) · 1,3 + 1,8 : (–0,6)
(–0,2 + 0,1 · 5) – (–2) = –3,9 – 3
(–0,2 + 0,5) + 2 = –6,9
2,3 = –3;
Szukamy liczby, której 2
3 jest równe –3. –3 : 2
3 = –3 · 3
2 = –4,5.
Odpowiedź: Szukana liczba to –4,5.
O ile liczba a jest mniejsza od liczby b, jeśli:
a = –1,3 – 2,8 : (–1,4) + 11
5 · (–21
3), b = 0,25 · 33
4 – (2
5 · 0,75 – 0,2) : (–13
5)?
Rozwiązanie: Obliczamy wartość a.
a = –1,3 – 2,8 : (–1,4) + 11
5 · (–21
3) = –1,3 + 2 + 6
5 · (– 7
3) = 0,7 – 2,8 = –2,1.
Obliczamy wartość b.
b = 0,25 · 33
4 – (2
5 · 0,75 – 0,2) : (–13
5) = 1
4 · 15
4 – (2
5 · 3
4 – 0,2) : (– 8
5) =
= 15
16 – 1
10 · (– 5
8) = 15
16 + 1
16 = 1.
Obliczamy różnicę liczb b i a: 1 – (–2,1) = 1 + 2,1 = 3,1
Odpowiedź: Liczba a jest mniejsza od liczby b o 3,1.
Rozwiązując zadania z treścią prowadzące do działań na liczbach wymiernych,
pamiętajmy o wszystkich zasadach poznanych wcześniej oraz o czytaniu
treści zadania ze zrozumieniem.
Oblicz, jaką kwotą dysponowała Kasia, jeżeli po zakupie zeszytu
za 2,70 zł, ołówka za 1,20 zł, gumki za 40 gr, odebraniu długu
od Zosi w wysokości 5,90 zł i od Marcina 1,50 zł oraz zakupie
książki za 17 zł pozostało jej 1,90 zł?
Rozwiązanie: Zadanie rozwiązujemy w odwrotnej kolejności,
niż następowały zdarzenia. Obliczamy wydatki Kasi:
2,70 + 1,20 + 0,40 +17 = 21,30 (zł). Obliczamy przychody Kasi:
5,90 + 1,50 = 7,40 (zł). Do pozostałej kwoty dodajemy wydatki,
a odejmujemy przychody: 1,90 + 21,30 – 7,40 = 15,80 (zł).
Odpowiedź: Kasia dysponowała kwotą 15,80 zł.
Według legendy na kamiennym grobie
Diofantosa, wielkiego matematyka starożytnej Grecji, był ułożony przez
Eutropiusa taki napis:
„Pod tym kamieniem spoczywają prochy Diofantosa, który umarł
w głębokiej starości. Przez szóstą część swojego życia był dzieckiem,
przez dwunastą część młodzieńcem. Następnie upłynęła siódma część,
zanim się ożenił. W pięć lat po zawarciu związku małżeńskiego urodził
mu się syn, który żył dwa razy krócej od niego. W cztery lata po śmierci
swego syna Diofantos, opłakiwany przez swych najbliższych, zasnął snem
wiecznym”.
Ile lat żył Diofantos?
CIEKAWOSTKA
ZAPAMIĘTAJ
• Liczbami naturalnymi są liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
• Liczbami całkowitymi są liczby: ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…
• Liczby –1 i 1, 2 i –2, 3 i –3 to pary liczb przeciwnych.
• Do zapisu liczb w systemie rzymskim używa się siedmiu cyfr:
I, V, X, L, C, D, M.
• Poszczególne cyfry oznaczają:
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.
Skracaniem ułamka nazywamy czynność polegającą na
podzieleniu jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę
różną od 0, np. 24
36 = 24 : 12
36 : 12 = 2
3.
• Rozszerzanie ułamka to czynność polegająca na pomnożeniu
licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0,
np. 2
3 = 2 · 4
3 · 4 = 8
12.
• Iloczyn ułamków jest ułamkiem, którego licznik jest iloczynem
liczników, a mianownik iloczynem mianowników.
• Aby podzielić ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy ułamek
przez odwrotność drugiego.
• Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego,
o liczniku będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku
będącym liczbą całkowitą różną od 0, nazywamy liczbą
wymierną.
• Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie mnożymy
i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy.
Sprawdź się
Zad. 1. Zaznacz na osi liczbowej punkty o współrzędnych –5, –3, 0, 2, 7.
Znajdź liczby przeciwne do liczb będących współrzędnymi zaznaczonych
punktów.
Zad. 2. Określ prawdziwość zdań, zaznaczając P, jeśli zdanie jest prawdziwe,
lub F, jeśli zdanie jest fałszywe.
Liczba 169 zapisana w systemie rzymskim to CXLIX. P F
Liczba CCCXXIV to 324. P F
Liczba 1649 zapisana w systemie rzymskim to MDCXLIX. P F
Liczba MMCCXXIII to 2222. P F
26 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY
STARA DOBRA SZKOŁA
Zad. 3. Oblicz: a) 31
5 – 22
3 + 11 5
15; b) 12
3 – 15
6 + 11
2; c) 153
5 – 21
4 – 1 9
20.
Zad. 4. Wykonaj działania:
a) (– 3
16) · (– 8
9) · (–11
2); b) (–11
3) : 2
3 : (– 1
2); c) (–21
3) : 12
3 · 11
2 : (–11
8).
Zad. 5. Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym.
a) 12, 527 + 21,89 + 0,7; b) 120,02 – 83,95.
Zad. 6. Wybierz T, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, lub N, jeśli jest fałszywe
Zad. 3. Oblicz: a) 31
5 – 22
3 + 11 5
15; b) 12
3 – 15
6 + 11
2; c) 153
5 – 21
4 – 1 9
20.
Zad. 4. Wykonaj działania:
a) (– 3
16) · (– 8
9) · (–11
2); b) (–11
3) : 2
3 : (– 1
2); c) (–21
3) : 12
3 · 11
2 : (–11
8).
Zad. 5. Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym.
a) 12, 527 + 21,89 + 0,7; b) 120,02 – 83,95.
Zad. 6. Wybierz T, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, lub N, jeśli jest fałszywe.
Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1
3 jest 0,333… T N
Ułamek 2
5 ma rozwinięcie dziesiętne równe 0,25. T N
Zamieniając ułamek zwykły 1
7 na ułamek dziesiętny,
otrzymamy 0,(142857).
T N
Wszystkie liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne
skończone lub nieskończone.
T N
Zad. 7. Oblicz wartość wyrażenia
(0,5 – 3) · (41
2 – 5)
(0,5 – 2
3) : 1
3
.
Zad. 8. Zaznacz na osi liczbowej zbiory liczb spełniających określone
warunki: a) x > –4; b) x ≤ 6.
Zad. 9. Oblicz wartość liczbową wyrażenia arytmetycznego
[23
7 + (0,6 + 1
3) : 1,4
3 – 5 ] : 31
6.
Zad. 10. Do cukierni zakupiono 20 kg rodzynek po 5,80 zł za 1 kg, 10 kg
migdałów po 12,60 zł za 1 kg i 10 kg owoców kandyzowanych po 6,20 zł
za 1 kg. Sporządzono z nich mieszankę do deserów. Oblicz cenę 1 kg tej
mieszanki.
Rozwiązania
Zad. 1.
–5 –3 0 1 2 7
.
Liczby przeciwne to: 5, 3, 0, –2, –7.
Zad. 2.
Liczba 169 zapisana w systemie rzymskim to CXLIX. P F
Liczba CCCXXIV to 324. P F
Liczba 1649 zapisana w systemie rzymskim to MDCXLIX. P F
Liczba MMCCXXIII to 2222. P F
Zad. 3. a) 31
5 – 22
3 + 11 5
15 = 3 3
15 – 210
15 + 11 5
15 = 14 8
15 – 210
15 = 1113
15;
b) 12
3 – 15
6 + 11
2 = 14
6 – 15
6 + 13
6 = 27
6 – 15
6 = 12
6 = 11
3;
c) 153
5 – 21
4 – 1 9
20 = 1512
20 – 2 5
20 – 1 9
20 = 1512
20 – 314
20 = 1432
20 – 314
20 = 1118
20 = 11 9
10.
Zad. 4.
a) (– 3
16) · (– 8
9) · (–11
2) = 1
6 · (– 3
2) = – 1
4;
b) (–11
3) : 2
3 : (– 1
2) = (– 4
3) · 3
2 · (–2) = (– 2) · (– 2) = 4;
c) (–21
3) : 12
3 · 11
2 : (–11
8) = (– 7
3) · 3
5 · 3
2 · (– 8
9) = 28
15 = 113
15.
Zad. 5. a)
1 5 2 7
7
0
2
2
3 1
1 8
1
9 0
0 7 0
5
+
,
,,
,
b)
1
3
2 2
8 9
0
5
0
6 0
_ ,
,,
3 7
28 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY
STARA DOBRA
Zad. 6.
Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1
3 jest 0,333… T N
Ułamek 2
5 ma rozwinięcie dziesiętne równe 0,25. T N
Zamieniając ułamek zwykły 1
7 na ułamek dziesiętny,
otrzymamy 0,(142857).
T N
Wszystkie liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone
lub nieskończone okresowe.
T N
Zad. 7. (0,5 – 3) · (41
2 – 5)
(0,5 – 2
3) : 1
3
= (–2,5) · (–0,5)
(1
2 – 2
3) · 3
= 1,25
(3
6 – 4
6) · 3
= 1,25
– 1
6 · 3
= 1,25
–0,5
= – 2,5.
Zad. 8.
a) x > –4;
–4 0 1
b) x ≤ 6.
0 1 6
Zad. 9. [23
7 + (0,6 + 1
3) : 1,4
3 – 5 ] : 31
6 = [23
7 + (0,6 + 0,5) : 1,4
–2 ] : 19
6 = (23
7 +
11
10 · 10
14
–2 ) · 6
19 =
= (68
28 · 11
28) · 6
19 = 57
28 · 6
19 = 9
14.
Zad. 10. Obliczamy wagę mieszanki: 20 + 10 + 10 = 40 (kg).
Obliczamy wartość zakupionych produktów:
20 · 5,60 + 10 · 12,60 + 10 · 6,20 = 300 (zł).
Obliczamy cenę 1 kg mieszanki: 300 : 40 = 7,50 (zł).