Co
nieostre, to tępe, czyli logika dziecięca
Z
życia klasy
Zacznę
od przytoczenia historyjki, którą często opowiadam. Brzmi jak anegdota, ale
wydarzyła
się
naprawdę. Było to na lekcji języka polskiego w czwartej klasie jednej z wrocławskich
szkół
podstawowych podczas wystawiania ocen na półrocze. Nauczycielka była raczej łagodna,
stąd
oceny były niezłe. Patrząc na stopnie wpisane do dziennika, nauczycielka zaczęła
się głośno
zastanawiać,
dlaczego uczniowie mają u niej oceny znacznie lepsze niż u innych nauczycieli.
Jeden
z uczniów, Piotrek, od razu znalazł wyjaśnienie: To dlatego, że Pani nie jest
ostra tak
jak
inni — Pani jest tępa!
Klasa
zamarła, a Piotrek zdał sobie sprawę z popełnionej gafy. Na szczęście
nauczycielka właściwie
odebrała
słowa ucznia i — zamiast się obrazić — szczerze się ubawiła, o czym wiem od
niej
samej. Była to nauczycielka z prawdziwego zdarzenia, rozumiejąca swoich
uczniów. Zdawała
sobie
sprawę z tego, że Piotrek, należący do tych uczniów, którzy szybciej mówią niż
myślą,
instynktownie kierował się logiką: skoro nie ostre, to tępe.
Tymczasem
nauczyciele często traktują podobne wypowiedzi dosłownie, czują się dotknięci
i konflikt gotowy. A
wystarczyłoby trochę refleksji, by właściwie odczytać intencje ucznia.
Dziecko
myśli logicznie, jest konsekwentne w swoim rozumowaniu. Czasami dochodzi do
wniosków,
które
nas zaskakują i wydają się fałszywe. Skąd się biorą? Otóż dziecko często
przyjmuje
swoje
własne założenia, o których nie zawsze wiemy. Podam parę przykładów ze swojego
doświadczenia
nauczycielskiego.
O
punktach większych i mniejszych,
grubej
prostej i czterech połówkach koła
Pamiętam,
jak kiedyś rozmawiałam o matematyce z pewnym piątoklasistą. Podczas dyskusji
o
zadaniu z geometrii pojawiło się pojęcie punktu. Chciałam sprawdzić, jak je
uczeń rozumie,
więc
narysowałam odcinek i zapytałam podchwytliwie, ile jest w nim punktów. Chłopiec
popatrzył
uważnie
na odcinek, zmarszczył czoło, coś mierzył i szacował, a potem odpowiedział
z
przekonaniem, że „jakieś tysiąc”. Zastanawiałam się, jak zareagować, a wtedy usłyszałam,
że
punktów
mogłoby być jeszcze więcej, gdyby były bardzo małe…
Może
Państwo pamiętacie z własnej edukacji, że punkt to jest „coś, co nie ma wymiaru”.
Pojęcie
punktu
jest czysto abstrakcyjne, punkty (te rozważane w geometrii) nie istnieją w
naszej rzeczywistości,
nie
można ich narysować, a zaznaczenie punktu na papierze czy tablicy jest tylko
umowną
ilustracją tego pojęcia. Punkty, które rysujemy, są grubsze lub cieńsze — w
zależności
od
sytuacji, którą chcemy zilustrować, a także od ołówka czy kredy, których używamy.
Tymczasem
dziecko
odczytuje rysunek tak, jak go widzi, identyfikując punkt z narysowaną kropką.
Jest
oczywiste, że kropka ta ma pewne wymiary, może być większa lub mniejsza. Nie może
być
tylko
zbyt duża, jeżeli ma być punktem — tak uważają dzieci.
Dzieci,
nawet starsze, traktują rzeczy i zjawiska dosłownie. Przypomina mi się moja
lekcja
geometrii
przestrzennej w ósmej klasie szkoły podstawowej (sprzed reformy). Rozważaliśmy
sytuację,
w której dana jest płaszczyzna oraz prosta do niej równoległa:
Zapytałam,
ile jest płaszczyzn przechodzących przez daną prostą i równoległych do danej płaszczyzny.
Chciałam
sytuację zilustrować, więc wzięłam długopis (miał reprezentować prostą)
i
ustawiłam go równolegle do blatu stołu (płaszczyzna). Kasia nie miała wątpliwości:
dwie!
Odpowiedź
zaskoczyła mnie, ale zrozumiałam, skąd się wzięła: jedna płaszczyzna pod
długopisem,
druga nad…
Nic
dziwnego, model prostej był zbyt „gruby”, aby mógł skutecznie reprezentować
prostą. Chciałam
dobrze,
a wyszło nieoczekiwanie. Trzeba przyznać, że inni uczniowie nie byli tak dosłowni
i
rozumieli umowność sytuacji. W każdym razie trzeba było podyskutować na temat
pojęć
geometrycznych.
Pamiętam
też pewnego czwartoklasistę, który „dzielił koło na cztery połowy”. Narysował
jedną
średnicę,
która podzieliła koło na dwie połowy, po czym dorysował średnicę prostopadłą,
otrzymując
tym razem również podział na dwie połowy (oczywiście inne). Podsumowując,
stwierdził,
że narysowane średnice dzielą koło na cztery połowy. Czyż mówił nieprawdę?
Dowolny
— czyli jaki?
Nieporozumienia
zdarzają się nie tylko w geometrii. W algebrze przekształcamy wyrażenia
z
literami. Przykładowo zamiast a – (b + c) możemy napisać a – b – c. Dlaczego? Bo dla dowolnych
liczb
podstawionych w miejsce a, b, c
zachodzi równość a
– (b + c) = a
– b – c. Pytałam
kiedyś
uczniów, jak ją uzasadnić. Usłyszałam: podstawić za a, b, c
jakieś konkretne liczby
i
sprawdzić.
Oczywiście
w ten sposób pokażemy tylko, że równość jest prawdziwa dla tych liczb, które
podstawimy;
nie dowiedziemy, że jest prawdziwa w całej swojej ogólności. Sprawdzając równość
dla
pewnych liczb, nie możemy wywnioskować, że jest prawdziwa dla pozostałych.
Uczniowie
jednak rozumieją przymiotnik „dowolny” po swojemu, zgodnie ze swoim doświadczeniem
życiowym.
Na co dzień „dowolny” znaczy: taki, jaki chcę, zależny od mojej woli. Jeśli
zatem
liczby mają być dowolne, mogę je wybrać.
Trzeba
czasu, aby uczeń zrozumiał, że „dowolny” w matematyce oznacza to samo, co „każdy”.
Określenie:
„dla dowolnych” znaczy: „dla wszystkich”, a nie tylko dla wybranych.
Im
lepiej zrozumiemy ucznia, tym lepiej potrafimy się z nim porozumieć i tym
skuteczniej pomóc
mu
w przezwyciężaniu trudności, jakie niesie matematyka. Rozumienie ucznia, a
przynajmniej
nieustanne
podejmowanie starań w tym kierunku, jest niezbędnym warunkiem dobrego
nauczania.
Nie wystarczy, że przygotowując się do lekcji, nauczyciel opracuje dany temat w
sposób,
który
jemu wydaje się właściwy. Narzucanie uczniom z góry ustalonego sposobu podejścia
do
problemu często odnosi skutek inny od zamierzonego. Uczniowie szybko tracą wątek,
przestają
rozumieć istotę zagadnienia i skupiają się wyłącznie na zapamiętaniu wytycznych
nauczyciela.
Naśladują pokazany sposób rozwiązywania zadań, przez jakiś czas radzą sobie
z
typowymi zadaniami, ale po pewnym czasie wszystko zapominają. Na dodatek,
przyzwyczajeni
do
bezmyślnego stosowania reguł i wzorów, zatracają zdolność posługiwania się
zdrowym
rozsądkiem
i nie próbują samodzielnie rozwiązywać nawet prostych problemów. Stąd
rodzą
się kłopoty z matematyką. Nieporozumienia na linii nauczyciel – uczeń powodują,
że
trzeba nie tylko
uzupełniać, ale często także prostować edukację szkolną naszych dzieci.
dopuszczają
różne sposoby. Przykładowo obliczając 40% i 60%, można startować zarówno
z
10%, jak i 20%.
Warto
także poćwiczyć obliczanie procentu liczby, jeżeli nie jest ona dana, ale znamy
inny jej
procent.
Pytajmy więc, jak obliczyć 45% liczby, znając jej 30% — lub odwrotnie. W
szczególności
polećmy
znajdowanie liczby (czyli 100%), której pewien procent jest znany.
Oto
przykłady kilku ćwiczeń:
15% pewnej liczby wynosi 135. Oblicz 30%, 60%, 5%, 50%, 200%
tej liczby.
250% liczby jest równe 124. Jaka to liczba?
30% pewnej liczby jest równe 21. Jaka to liczba?
Znajdź liczbę, której: a) 20% wynosi 13, b) 5% wynosi 1.