Liczby wymierne dodatnie
TUTAJ ŚCIĄGNIJ EBOOKA W NORMALNEJ FORMIE: Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty>>>
Ułamkiem zwykłym (np. 1
3) nazywamy iloraz dwoch liczb całkowitych, z ktorych
dzielna jest licznikiem, dzielnik mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje
znak dzielenia. Mianownik musi być liczbą rożną od 0.
Wśrod ułamkow wyrożniamy ułamki właściwe i niewłaściwe.
Ułamki właściwe (np. 2
7) to te, w ktorych licznik jest mniejszy od
mianownika.
Są one mniejsze od 1.
Ułamki niewłaściwe (np. 12
5 , 7
7) to te, w ktorych licznik jest większy od mianownika
lub rowny mianownikowi. Są one większe od 1 lub rowne 1.
Liczby w postaci 11
5, 47
8, 91
2 to liczby mieszane.
Skracaniem ułamka nazywamy czynność polegającą na podzieleniu jego licznika
i mianownika przez tę samą liczbę rożną od 0, np. 24
36 = 24 : 12
36 : 12 = 2
3.
Rozszerzanie ułamka to czynność polegająca na pomnożeniu licznika i mianownika
przez tę samą liczbę rożną od 0, np. 2
3 = 2 ・ 4
3 ・ 4 = 8
12.
Każde dwa ułamki możemy porownać. Porownując dwa ułamki zwykłe,
zazwyczaj doprowadzamy je do ułamkow o rownych mianownikach lub rownych
licznikach, np. 5
6 > 1
4, bo 10
12 > 3
12; 4
51 < 10
73, bo 20
255 < 20
146 .
Najprościej dodaje się lub odejmuje ułamki o jednakowych mianownikach.
Wystarczy dodać lub odjąć liczniki, a mianownik pozostawić bez zmian, np.
3
5 + 1
5 = 4
5; 9
11 – 3
11 = 6
11.
Aby dodać lub odjąć ułamki o rożnych mianownikach, należy najpierw sprowadzić
je do wspolnego mianownika, następnie dodać lub odjąć liczniki, a mianownik
pozostawić bez zmian.
PRZYKŁAD 1
Wykonaj
działania: a) 5
6 + 3
8; b)
61
9 – 2 7
12.
Rozwiązanie
a)
5
6 + 3
8 = 20
24 + 9
24 = 29
24 = 1 5
24; b) 61
9 – 2 7
12 = 6 4
36 – 221
36 = 540
36 – 221
36 = 319
36.
Odpowiedź: 5
6 + 3
8 = 1 5
24; 61
9 – 2 7
12 = 319
36.
Ułamki zwykłe rownież mnożymy i dzielimy, trzeba pamiętać o rożnych sposobach
wykonywania tych działań. Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą,
należy pomnożyć licznik tego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić
bez zmian. Iloczyn ułamkow jest ułamkiem, ktorego licznik jest iloczynem licznikow,
a mianownik iloczynem mianownikow. Gdy czynnik jest liczbą mieszaną,
zazwyczaj zamieniamy tę liczbę na ułamek niewłaściwy i wykonujemy mnożenie.
Przy mnożeniu licznikow oraz mianownikow warto pamiętać o możliwości
skracania.
PRZYKŁAD 2
Oblicz:
a) 4
5 ・ 15; b) 8
15 ・ 5
36; c) 21
2 ・ 31
3.
Rozwiązanie
a)
5 5
4 = 4·15=
1
3
·15 12;
b) 8 5 8 · 5
15 36 = 15·36= 27
2
2 1
3 9
· ;
c)
2 3 2 3 2·3 3 3
1 1 = 5 10=5·10= 25= 1
1
5
2 ·3 · 8
Odpowiedź: 4
5 ・ 15 = 12; 8
15 ・ 5
36 = 2
27; 21
2 ・ 31
3 = 81
3.
Mnożenie ułamkow stosujemy na przykład przy obliczaniu ułamka danej
liczby. Np. 3
4 liczby 60 = 3
4 ・ 60 = 45.
Gdy iloczyn dwu liczb jest rowny 1, to mowimy, że jedna z nich jest odwrotnością
drugiej, zatem odwrotnością liczby a ≠ 0 jest liczba 1a
.
Odwrotnością ułamka ab
jest ułamek ba
, gdzie a ≠ 0 i b ≠ 0, np. odwrotnością
liczby 5
7 jest liczba 1,4.
Aby podzielić ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy ułamek przez odwrotność
drugiego, np. 7
8 : 3
4 = 7
8 ・ 4
3 = 7
6 = 11
6.
Dzielenie ułamkow wykorzystujemy na przykład przy wyznaczaniu liczby
z danego jej ułamka.
Ułamki zwykłe, ktore w mianowniku mają 10, 100, 1000, …, nazywamy ułamkami
dziesiętnymi. Możemy je zapisać w postaci dziesiętnej, tzn. bez kreski ułam kowej, z zastosowaniem przecinka oddzielającego część całkowitą od części ułamkowej,
np. 23
1000 = 0,023.
Dodawanie i odejmowanie ułamkow dziesiętnych wykonujemy tak, jak dodawanie
i odejmowanie liczb naturalnych. Proste rachunki wykonujemy w pamięci,
a bardziej skomplikowane sposobem pisemnym, pamiętając, aby wszystkie przecinki
zapisać w jednej kolumnie.
PRZYKŁAD 3
Wykonaj
obliczenia sposobem pisemnym.
a)
1,357 + 24,9 + 0,67; b) 10,2 – 3,81.
Rozwiązanie
a)
1 3 5 7
7
7
2
2 2
4 9
9
0 0
0 6 0
6
+
,
,,
,
b)
1
3
2
8
9
0
1
0
6 3
_ ,
,,
Odpowiedź: 1,357 +
24,9 + 0,67 = 26,927; 10,2 – 3,81 = 6,39.
Przy mnożeniu ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000… przesuwamy
przecinek
w tym ułamku w prawo odpowiednio o jedno, dwa, trzy…
miejsca, np.
3,241 ・ 100 = 324,1.
Przy dzieleniu ułamka dziesiętnego przez 10, 100, 1000… przesuwamy
przecinek w tym ułamku w lewo odpowiednio o jedno, dwa, trzy…
miejsca, np.
650,2 : 1000 = 0,6502.
Mnożąc ułamki dziesiętne sposobem pisemnym, zapisujemy je tak, jak w mnożeniu
liczb naturalnych, nie zwracając uwagi na położenie przecinka, a w iloczynie
oddzielamy przecinkiem od prawej strony (od końca) tyle cyfr, ile jest łącznie
po
przecinkach w obu czynnikach.
Dzieląc ułamek dziesiętny przez liczbę naturalną, postępujemy tak samo, jak
przy dzieleniu liczb naturalnych, a przecinek w ilorazie
zapisujemy nad przecinkiem
dzielnej.
Przy dzieleniu liczby przez ułamek dziesiętny należy przesunąć przecinek
w dzielnej i dzielniku o tyle miejsc, aby dzielnik stał się liczbą naturalną, a następnie
wykonać to dzielenie.
PRZYKŁAD 4
Oblicz
sposobem pisemnym: a) 15,23 ・ 3,6; b) 25,6 : 0,25.
Rozwiązanie
a)
1
3
2
2
6
9
3
4
4
5
5
5
8
8 8
6
·
,
,
,
9 1 3
+
b)
25,6 : 0,25 = 2560 : 25
0
0
0
2 2
2
2
6
1
1
4
5 5
5
5
6
_
_
1 ,
0
0
0
0
0
0
:
_
Odpowiedź: 15,23 ・ 3,6 = 54,828;
25,6 : 0,25 = 102,4.
Jeżeli każdy ułamek zwykły traktujemy jako iloraz dwoch liczb całkowitych,
to możemy wykonać dzielenie licznika tego ułamka przez jego mianownik. Wynikiem
tego dzielenia jest ułamek dziesiętny.
Ułamek zwykły może mieć rozwinięcie dziesiętne skończone lub rozwinięcie
dziesiętne nieskończone.
Znajdź
rozwinięcia dziesiętne ułamków: a) 3
8; b) 5
11.
Rozwiązanie na stronie obok
Rozwinięcia
dziesiętne
nieskończone,
w ktorych od pewnego miejsca powtarza
się
cyfra lub grupa cyfr, nazywamy dziesiętnymi
okresowymi. Powtarzającą się
cyfrę
lub najkrotszą
grupę
cyfr nazywamy okresem i zapisujemy go w nawiasie,
np.
0,24343… = 0,2(43).
Ułamki
zwykłe
o rozwinięciu
dziesiętnym
skończonym
możemy
zamieniać
na
ułamki
dziesiętne,
rozszerzając
lub skracając
je tak, aby w mianowniku była
liczba
10, 100, 1000, np. 3
5 =
6
10;
27
300
= 9
100
.
Rozwinięć
dziesiętnych
nieskończonych
w praktyce używa
się
często
jako
rozwinięć
dziesiętnych
ograniczonych do jednego lub kilku miejsc po przecinku.
Mowimy
wtedy o przybliżeniu
dziesiętnym
z określoną
dokładnością,
czyli
o
zaokrągleniu
liczby do jednego, dwoch, trzech miejsc po przecinku (czyli do części
dziesiątych,
setnych, tysięcznych
itd.). Zaokrąglając
liczby, możemy
korzystać
z
ogolnie przyjętych
zasad.
Jeżeli
pierwsza z odrzucanych cyfr rozwinięcia
dziesiętnego
jest mniejsza od 5,
to
ostatnią
zachowaną
cyfrę
zostawiamy bez zmian i podajemy przybliżenie
liczby z niedomiarem. Jeżeli zaś pierwsza z odrzucanych cyfr rozwinięcia dziesiętnego
jest większa lub rowna 5, to ostatnią zachowaną cyfrę powiększamy o 1 i podajemy
przybliżenie liczby z nadmiarem.
PRZYKŁAD 6
Podaj
przybliżenie liczby 23,1483517 z
dokładnością do
a)
części tysięcznych; b) części setnych
i
określ, czy jest ono z niedomiarem czy z nadmiarem.
Rozwiązanie
a)
23,1483517 ≈ 23,148 z niedomiarem;
b)
23,1483517 ≈ 23,15 z nadmiarem.
Czasami w życiu codziennym kierujemy się zasadami zaokrąglania innymi
niż matematyczne. Mowimy wowczas o szacowaniu.
W sklepie zastanawiamy się,
czy kwota, ktorą posiadamy, wystarczy nam na zakup zaplanowanych produktow,
szacujemy wtedy ich wartość, stosując przybliżenia z nadmiarem.
Obliczając wartość wyrażenia arytmetycznego, korzystamy z własności działań:
• przemienności dodawania: a + b = b + a;
• łączności dodawania: (a + b) + c = a + (b + c);
• przemienności mnożenia: a · b = b · a;
• łączności mnożenia: (a · b) ・ c = a ・ (b ・ c);
• rozdzielności mnożenia względem dodawania: a · (b + c) = a · b + a · c.
Pamiętajmy o tym, że:
• dodając 0, nie zmieniamy wartości wyrażenia: a + 0 = a;
• mnożąc przez 1, nie zmieniamy wartości wyrażenia: a ・ 1 = a;
• gdy jednym z czynnikow iloczynu jest 0, to
iloczyn wynosi 0.
Przy obliczaniu wartości liczbowej wyrażenia arytmetycznego należy pamiętać
o kolejności wykonywania działań. Jeżeli w wyrażeniu występuje tylko dodawanie
i odejmowanie albo tylko mnożenie i dzielenie, to wykonujemy je w kolej ności od lewej do prawej. Gdy w wyrażeniu występuje dodawanie, odejmowanie,
mnożenie lub dzielenie, to najpierw wykonujemy mnożenie i dzielenie, a potem
dodawanie i odejmowanie. W wyrażeniach zawierających nawiasy najpierw wykonujemy
działania w tych nawiasach, ktore nie zawierają innych nawiasow. Zastępując
znak dzielenia kreską ułamkową, traktujemy wyrażenia w liczniku i mianowniku
tak, jakby były ujęte w nawiasy.
Wykonując obliczenia, w ktorych występują ułamki zwykłe i dziesiętne,
możemy ułamki dziesiętne zamieniać na ułamki zwykłe lub – o ile to możliwe
– zamieniać ułamki zwykłe na dziesiętne, a następnie wykonywać działania zgodnie
z kolejnością.
PRZYKŁAD 7
Oblicz
wartości wyrażeń:
a) 24 – 8 + 2 + 3 – 11; b) 3 ・ 8 : 2 : 4 ・ 7;
c) 2,6 + 8,4 : 1,2 – 0,1 ・ 6; d) 2
5 ・ (6 – 20 : (4 + 1));
e) 15 : (–3) + 7
–2 ; f) 2
3 – (0,6 ・ 5
6 – 1,4) : (–2,7).
Rozwiązanie
a)
24 – 8 + 2 + 3 – 11 = 16 + 2 + 3 – 11 = 18 + 3 – 11 = 21 – 11 = 10;
b)
3 ・ 8 : 2 : 4 ・ 7 = 24 : 2 : 4 ・ 7 = 12 : 4 ・ 7 = 3 ・ 7 = 21;
c)
2,6 + 8,4 : 1,2 –
0,1 ・ 6 = 2,6 + 7 – 0,6 = 9,6 – 0,6 = 9;
d)
2
5 ・ (6 – 20 : (4 + 1)) = 2
5 ・ (6 – 20 : 5) = 2
5 ・ (6 – 4) = 2
5 ・ 2 = 4
5;
e)
15 : (–3) + 7
–2 = –5 + 7
–2 = 2
–2 = – 1;
f)
2
3 – (0,6 ・ 5
6 – 1,4) : (–2,7) = 2
3 – ( 6
10 ・ 5
6 – 1,4) : (–2,7) =
=
2
3 – (0,5 – 1,4) : (–2,7)
= 2
3 – (– 0,9) : (–2,7) = 2
3 – (– 9
10) : (– 27
10) =
= 2
3 – (– 9
10) ・ (– 10
27) = 2
3 – 1
3 = 1
3.
TUTAJ ŚCIĄGNIJ EBOOKA W NORMALNEJ FORMIE: Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty>>>