Lepiej zajrzyj tu: Matematyka. Korepetycje gimnazjalisty>>>
Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego, o liczniku
będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku będącym liczbą całkowitą różną
od 0, nazywamy liczbą wymierną.
Liczbami wymiernymi są np. liczby: – 2
3, – 5
8, –1,3, 0, 1
4, 17
49 , 61
3, 9, 18,15.
Liczby te mają rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
Każdą z nich można przedstawić w postaci ułamka zwykłego na nieskończenie
wiele sposobów.
PRZYKŁAD 1
Zapisz liczby wymierne:
a) 5; b) 0; c) –6; d) 0,8; e) –21
3; f) –8,4.
w postaci ułamków.
Rozwiązanie
a) 5 = 5
1 = 10
2 = 15
3 = …; b) 0 = 0
2 = 0
–6 = 0
21 = …;
c) –6 = –6
1 = 12
–2 = –84
14 = …; d) 0,8 = 8
10 = 4
5 = 28
35 = …;
e) –21
3 = – 7
3 = –35
15 = 70
–30 = …; f) –8,4 = –84
10 = 42
–5 = –126
15 = …
Porównując liczby, często wykorzystujemy położenie na osi liczbowej punktów
o odpowiadających im współrzędnych.
PRZYKŁAD 2
Uporządkuj rosnąco liczby: –21
2, 1,5, 0, 21
4, – 1
2.
Rozwiązanie
Rysujemy oś liczbową, obieramy jednostkę i zaznaczamy punkty
o danych współrzędnych.
–21
2 – 1
2 0 1 1,5 21
4
Odpowiedź: –21
2 < – 1
2 < 0 < 1,5 < 21
4.
Odległość pomiędzy dwoma punktami leżącymi na osi liczbowej możemy obliczać,
odejmując ich współrzędne.
PRZYKŁAD 3
Oblicz odległość między punktami o współrzędnych:
a) –3 i 4; b) –7 i –2; c) 3 i 8.
Rozwiązanie
a) |AB| = 4 – (–3) = 7; 3
7
4
A B
–3 0 1 4
b) |CD| = –2 – (–7) = 5;
5
7
2
C D
–7 –2 0 1
c) |EF| = 8 – 3 = 5.
3
8
5
E F
0 1 3 8
Na osi liczbowej możemy zaznaczać liczby oraz zbiory liczb. Jeżeli chcemy
wśród liczb podać te, które są np. większe od 4, to nie możemy wymienić ich
wszystkich, bo jest ich nieskończenie wiele. Zbiór ten zaznaczamy na osi liczbowej.
PRZYKŁAD 4
Zaznacz na osi liczbowej zbiory liczb spełniających określone warunki.
a) x > –2; b) x < 4; c) x ≥ 3; d) x ≤ –1.
Rozwiązanie
a) x > –2;
0 1 2
b) x < 4;
0 1 4
c) x ≥ 3;
0 1 3
d) x ≤ –1.
–1 0 1
Wykonując działania na dowolnych liczbach wymiernych, musimy zawsze
zwracać uwagę na znak każdej z liczb i pamiętać o własnościach działań.
PRZYKŁAD 5
Wykonaj dodawanie liczb wymiernych.
a) o takich samych znakach: b) o różnych znakach:
3 + 5; (–3) + (–5); (–3) + 5; 3 + (–5);
Rozwiązanie
a) 3 + 5 = 8; (–3) + (–5) = – 8; b) (–3) + 5 = 2; 3 + (–5) = –2.
Suma dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, zaś suma dwóch liczb ujemnych
jest liczbą ujemną.
Wykonaj mnożenie liczb wymiernych.
a) o takich samych znakach: 4 · 5; (–4) · (–5);
b) o różnych znakach: (–4) · 5; 4 · (–5).
Rozwiązanie
a) 4 · 5 = 20; (–4) · (–5) = 20; b) (–4) · 5 = –20; 4 · (–5) = –20.
Iloczyn dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zaś iloczyn dwóch
liczb o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią.
Oblicz iloraz dwóch liczb wymiernych.
a) o takich samych znakach: 48 : 6; (–48) : (–6);
b) o różnych znakach: 48 : (–6); (–48) : 6.
Rozwiązanie
a) 48 : 6 = 8; (–48) : (–6) = 8; b) 48 : (–6) = –8; (–48) : 6 = –8.
Iloraz dwóch liczb o różnych znakach jest liczbą ujemną, zaś iloraz dwóch liczb
o jednakowych znakach jest liczbą dodatnią.
Przy obliczeniach na liczbach dodatnich i ujemnych musimy pamiętać o obowiązującej
kolejności wykonywania działań. Najpierw wykonujemy działania w nawiasach,
następnie mnożymy i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy. Należy
również pamiętać o opuszczaniu niepotrzebnych nawiasów.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia arytmetycznego.
a) –(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7;
b) [(–2) · (–8) – (–30) : 5] : (–11) + (–3) · 2 – (–7 ) – [– (–8)];
c) 0 – 0,1 · 100 + 10 : (–10) – (–10) : 0,1 + 0,01 · (–1000);
d) (– 1
2) · 6 + 1
3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2
5) ] : (– 2
3) + 4 – 9 : (–3).
Rozwiązanie
a) –(–5) + (–23) + 6 · 1,5 – 4 : (–1) – (–6,5) · (–2) + 7 =
= 5 – 23 + 9 + 4 – 13 + 7 = 25 – 36 = –21;
b) [(–2) · (–8) – (–30) : 5] : (–11) + (–3) · 2 – (–7 ) –[–(–8)] =
= (16 + 6) : (–11) – 6 + 7 – 8 = 22 : (–11) – 6 + 7 – 8 =
= –2 – 6 + 7 – 8 = 7 – 16 = –9;
c) 0 – 0,1 · 100 + 10 : (–10) – (–10) : 0,1 + 0,01 · (–1000) =
= –10 – 1 + 100 – 10 = 100 – 21 = 79;
d) ( – 1
2) · 6 + 1
3 · (–12) – [ –1 –5 : (– 2
5) ] : (– 2
3) + 4 – 9 : (–3) =
= –3 – 4 – (–1 + 2) · (– 3
2) + 4 + 3 = –3 – 4 + 1,5 + 4 + 3 = 1,5.
Przy rozwiązywaniu prostych zadań z zastosowaniem liczb wymiernych
pamiętajmy o prawach działań i kolejności wykonywania działań.
Znajdź liczbę, której 2
3 jest równe wartości liczbowej wyrażenia
(–3) · 1,3 + 1,8 : (–0,6)
(–0,2 + 0,1 · 5) – (–2) .
Rozwiązanie: Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:
(–3) · 1,3 + 1,8 : (–0,6)
(–0,2 + 0,1 · 5) – (–2) = –3,9 – 3
(–0,2 + 0,5) + 2 = –6,9
2,3 = –3;
Szukamy liczby, której 2
3 jest równe –3. –3 : 2
3 = –3 · 3
2 = –4,5.
Odpowiedź: Szukana liczba to –4,5.
O ile liczba a jest mniejsza od liczby b, jeśli:
a = –1,3 – 2,8 : (–1,4) + 11
5 · (–21
3), b = 0,25 · 33
4 – (2
5 · 0,75 – 0,2) : (–13
5)?
Rozwiązanie: Obliczamy wartość a.
a = –1,3 – 2,8 : (–1,4) + 11
5 · (–21
3) = –1,3 + 2 + 6
5 · (– 7
3) = 0,7 – 2,8 = –2,1.
Obliczamy wartość b.
b = 0,25 · 33
4 – (2
5 · 0,75 – 0,2) : (–13
5) = 1
4 · 15
4 – (2
5 · 3
4 – 0,2) : (– 8
5) =
= 15
16 – 1
10 · (– 5
8) = 15
16 + 1
16 = 1.
Obliczamy różnicę liczb b i a: 1 – (–2,1) = 1 + 2,1 = 3,1
Odpowiedź: Liczba a jest mniejsza od liczby b o 3,1.
Rozwiązując zadania z treścią prowadzące do działań na liczbach wymiernych,
pamiętajmy o wszystkich zasadach poznanych wcześniej oraz o czytaniu
treści zadania ze zrozumieniem.
Oblicz, jaką kwotą dysponowała Kasia, jeżeli po zakupie zeszytu
za 2,70 zł, ołówka za 1,20 zł, gumki za 40 gr, odebraniu długu
od Zosi w wysokości 5,90 zł i od Marcina 1,50 zł oraz zakupie
książki za 17 zł pozostało jej 1,90 zł?
Rozwiązanie: Zadanie rozwiązujemy w odwrotnej kolejności,
niż następowały zdarzenia. Obliczamy wydatki Kasi:
2,70 + 1,20 + 0,40 +17 = 21,30 (zł). Obliczamy przychody Kasi:
5,90 + 1,50 = 7,40 (zł). Do pozostałej kwoty dodajemy wydatki,
a odejmujemy przychody: 1,90 + 21,30 – 7,40 = 15,80 (zł).
Odpowiedź: Kasia dysponowała kwotą 15,80 zł.
Według legendy na kamiennym grobie
Diofantosa, wielkiego matematyka starożytnej Grecji, był ułożony przez
Eutropiusa taki napis:
„Pod tym kamieniem spoczywają prochy Diofantosa, który umarł
w głębokiej starości. Przez szóstą część swojego życia był dzieckiem,
przez dwunastą część młodzieńcem. Następnie upłynęła siódma część,
zanim się ożenił. W pięć lat po zawarciu związku małżeńskiego urodził
mu się syn, który żył dwa razy krócej od niego. W cztery lata po śmierci
swego syna Diofantos, opłakiwany przez swych najbliższych, zasnął snem
wiecznym”.
Ile lat żył Diofantos?
CIEKAWOSTKA
ZAPAMIĘTAJ
• Liczbami naturalnymi są liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…
• Liczbami całkowitymi są liczby: ...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3…
• Liczby –1 i 1, 2 i –2, 3 i –3 to pary liczb przeciwnych.
• Do zapisu liczb w systemie rzymskim używa się siedmiu cyfr:
I, V, X, L, C, D, M.
• Poszczególne cyfry oznaczają:
I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000.
Skracaniem ułamka nazywamy czynność polegającą na
podzieleniu jego licznika i mianownika przez tę samą liczbę
różną od 0, np. 24
36 = 24 : 12
36 : 12 = 2
3.
• Rozszerzanie ułamka to czynność polegająca na pomnożeniu
licznika i mianownika przez tę samą liczbę różną od 0,
np. 2
3 = 2 · 4
3 · 4 = 8
12.
• Iloczyn ułamków jest ułamkiem, którego licznik jest iloczynem
liczników, a mianownik iloczynem mianowników.
• Aby podzielić ułamek przez ułamek, mnożymy pierwszy ułamek
przez odwrotność drugiego.
• Każdą liczbę, którą da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego,
o liczniku będącym dowolną liczbą całkowitą i mianowniku
będącym liczbą całkowitą różną od 0, nazywamy liczbą
wymierną.
• Najpierw wykonujemy działania w nawiasach, następnie mnożymy
i dzielimy, a na końcu dodajemy i odejmujemy.
Sprawdź się
Zad. 1. Zaznacz na osi liczbowej punkty o współrzędnych –5, –3, 0, 2, 7.
Znajdź liczby przeciwne do liczb będących współrzędnymi zaznaczonych
punktów.
Zad. 2. Określ prawdziwość zdań, zaznaczając P, jeśli zdanie jest prawdziwe,
lub F, jeśli zdanie jest fałszywe.
Liczba 169 zapisana w systemie rzymskim to CXLIX. P F
Liczba CCCXXIV to 324. P F
Liczba 1649 zapisana w systemie rzymskim to MDCXLIX. P F
Liczba MMCCXXIII to 2222. P F
26 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY
STARA DOBRA SZKOŁA
Zad. 3. Oblicz: a) 31
5 – 22
3 + 11 5
15; b) 12
3 – 15
6 + 11
2; c) 153
5 – 21
4 – 1 9
20.
Zad. 4. Wykonaj działania:
a) (– 3
16) · (– 8
9) · (–11
2); b) (–11
3) : 2
3 : (– 1
2); c) (–21
3) : 12
3 · 11
2 : (–11
8).
Zad. 5. Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym.
a) 12, 527 + 21,89 + 0,7; b) 120,02 – 83,95.
Zad. 6. Wybierz T, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, lub N, jeśli jest fałszywe
Zad. 3. Oblicz: a) 31
5 – 22
3 + 11 5
15; b) 12
3 – 15
6 + 11
2; c) 153
5 – 21
4 – 1 9
20.
Zad. 4. Wykonaj działania:
a) (– 3
16) · (– 8
9) · (–11
2); b) (–11
3) : 2
3 : (– 1
2); c) (–21
3) : 12
3 · 11
2 : (–11
8).
Zad. 5. Wykonaj obliczenia sposobem pisemnym.
a) 12, 527 + 21,89 + 0,7; b) 120,02 – 83,95.
Zad. 6. Wybierz T, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, lub N, jeśli jest fałszywe.
Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1
3 jest 0,333… T N
Ułamek 2
5 ma rozwinięcie dziesiętne równe 0,25. T N
Zamieniając ułamek zwykły 1
7 na ułamek dziesiętny,
otrzymamy 0,(142857).
T N
Wszystkie liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne
skończone lub nieskończone.
T N
Zad. 7. Oblicz wartość wyrażenia
(0,5 – 3) · (41
2 – 5)
(0,5 – 2
3) : 1
3
.
Zad. 8. Zaznacz na osi liczbowej zbiory liczb spełniających określone
warunki: a) x > –4; b) x ≤ 6.
Zad. 9. Oblicz wartość liczbową wyrażenia arytmetycznego
[23
7 + (0,6 + 1
3) : 1,4
3 – 5 ] : 31
6.
Zad. 10. Do cukierni zakupiono 20 kg rodzynek po 5,80 zł za 1 kg, 10 kg
migdałów po 12,60 zł za 1 kg i 10 kg owoców kandyzowanych po 6,20 zł
za 1 kg. Sporządzono z nich mieszankę do deserów. Oblicz cenę 1 kg tej
mieszanki.
Rozwiązania
Zad. 1.
–5 –3 0 1 2 7
.
Liczby przeciwne to: 5, 3, 0, –2, –7.
Zad. 2.
Liczba 169 zapisana w systemie rzymskim to CXLIX. P F
Liczba CCCXXIV to 324. P F
Liczba 1649 zapisana w systemie rzymskim to MDCXLIX. P F
Liczba MMCCXXIII to 2222. P F
Zad. 3. a) 31
5 – 22
3 + 11 5
15 = 3 3
15 – 210
15 + 11 5
15 = 14 8
15 – 210
15 = 1113
15;
b) 12
3 – 15
6 + 11
2 = 14
6 – 15
6 + 13
6 = 27
6 – 15
6 = 12
6 = 11
3;
c) 153
5 – 21
4 – 1 9
20 = 1512
20 – 2 5
20 – 1 9
20 = 1512
20 – 314
20 = 1432
20 – 314
20 = 1118
20 = 11 9
10.
Zad. 4.
a) (– 3
16) · (– 8
9) · (–11
2) = 1
6 · (– 3
2) = – 1
4;
b) (–11
3) : 2
3 : (– 1
2) = (– 4
3) · 3
2 · (–2) = (– 2) · (– 2) = 4;
c) (–21
3) : 12
3 · 11
2 : (–11
8) = (– 7
3) · 3
5 · 3
2 · (– 8
9) = 28
15 = 113
15.
Zad. 5. a)
1 5 2 7
7
0
2
2
3 1
1 8
1
9 0
0 7 0
5
+
,
,,
,
b)
1
3
2 2
8 9
0
5
0
6 0
_ ,
,,
3 7
28 MATEMATYKA KOREPETYCJE GIMNAZJALISTY
STARA DOBRA
Zad. 6.
Rozwinięciem dziesiętnym ułamka 1
3 jest 0,333… T N
Ułamek 2
5 ma rozwinięcie dziesiętne równe 0,25. T N
Zamieniając ułamek zwykły 1
7 na ułamek dziesiętny,
otrzymamy 0,(142857).
T N
Wszystkie liczby wymierne mają rozwinięcia dziesiętne skończone
lub nieskończone okresowe.
T N
Zad. 7. (0,5 – 3) · (41
2 – 5)
(0,5 – 2
3) : 1
3
= (–2,5) · (–0,5)
(1
2 – 2
3) · 3
= 1,25
(3
6 – 4
6) · 3
= 1,25
– 1
6 · 3
= 1,25
–0,5
= – 2,5.
Zad. 8.
a) x > –4;
–4 0 1
b) x ≤ 6.
0 1 6
Zad. 9. [23
7 + (0,6 + 1
3) : 1,4
3 – 5 ] : 31
6 = [23
7 + (0,6 + 0,5) : 1,4
–2 ] : 19
6 = (23
7 +
11
10 · 10
14
–2 ) · 6
19 =
= (68
28 · 11
28) · 6
19 = 57
28 · 6
19 = 9
14.
Zad. 10. Obliczamy wagę mieszanki: 20 + 10 + 10 = 40 (kg).
Obliczamy wartość zakupionych produktów:
20 · 5,60 + 10 · 12,60 + 10 · 6,20 = 300 (zł).
Obliczamy cenę 1 kg mieszanki: 300 : 40 = 7,50 (zł).